- Die wahre Geschichte

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Die Menge M sei definiert als die "Menge aller Mengen, die sich nicht selbst enthalten", das heißt:

$\mathbb{M} := \{\mathbb{X}\mid\mathbb{X}\notin\mathbb{X}\}$

Diese Definition führt zu einem Widerspruch: Es stellt sich die Frage, ob M sich selbst enthält, was einerseits aufgrund der Definition nicht sein kann. Jedoch ist es auch nicht möglich, dass sich M nicht selbst enthält, da M definiert ist als die "Menge aller Mengen, die sich nicht selbst enthalten", wozu auch M selbst gezählt werden kann. Mathematisch kann dies folgendermaßen ausgedrückt werden:

$\mathbb{M} \in \mathbb{M} \Rightarrow \mathbb{M} \notin \mathbb{M}$

$\mathbb{M} \notin \mathbb{M} \Rightarrow \mathbb{M} \in \mathbb{M}$

Es gibt zahlreiche populäre Formulierungen der Russellschen Antinomie. Bekannt ist der Barbier, der alle Männer im Ort rasiert, die sich nicht selbst rasieren, und nur diese. Die Frage, ob sich der Barbier selbst rasiert oder nicht, führt ebenfalls zu einem Widerspruch (Barbier-Paradoxon).

Durch den axiomatischen Aufbau der Mengenlehre lassen sich Antinomien vermeiden. Er zeigt, dass die Zusammenfassung aller Mengen, die sich nicht selbst enthalten, keine Menge sein kann, sondern eine Klasse bildet - eben weil das sonst zu einem Widerspruch führt. Die Klassendefinition dieser Mengenzusammenfassung ist jedoch in sich widerspruchsfrei und bildet die leere Klasse.

Jetzt zur Loesung:

1908 veröffentlichte Ernst Zermelo ein axiomatisches System der Mengenlehre, das Abraham Fraenkel 1922 erweiterte, die Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre. Dieses System oder ein dazu äquivalentes wird heute allgemein als Grundlage der Mathematik verwendet. Die Widerspruchsfreiheit dieses Systems ist jedoch nicht beweisbar: 1931 hat Kurt Gödel mit dem nach ihm benannten Unvollständigkeitssatz gezeigt, dass es prizipiell nicht möglich ist, innerhalb eines Systems dessen eigene Widerspruchsfreiheit zu beweisen. Das Zermelo-Fraenkel-System wird seither jedoch als allgemeine Grundlage der Mathematik anerkannt.

Die Zermelo-Fraenkelsche Mengenlehre vermeidet die Russellsche Antinomie wie folgt: Einerseits wird durch das so genannte Fundierungsaxiom sichergestellt, dass keine Menge sich selbst enthalten kann, andererseits gibt es kein Axiom, das sicherstellen würde, dass die Gesamtheit aller Mengen selbst eine Menge bildet. Die Russellsche Antinomie zeigt dann, dass die Gesamtheit aller Mengen tatsächlich keine Menge bildet. Sie bildet also eine echte Klasse.